Praktische opdracht

De omtrek van de aarde

Al in de derde eeuw voor Christus bepaalde de Griek Eratosthenes de omtrek van de aarde door het meten van de zonshoogte. In deze proef gaan je samen met twee of drie andere leerlingen zo'n zelfde soort meting doen.

Deze meting moet op twee plaatsen op de aarde tegelijk gedaan worden. Jullie gaan daarom eerst (bijvoorbeeld via het internet) op zoek naar een andere school of groep die de tweede waarneming wil doen. Denk van tevoren na over de afstand waarop de andere school zich moet bevinden!

Ga na op welke manier de Grieken de hoogte van de zon bepaald hebben en welke problemen daarbij kwamen kijken. Vervolgens gaan jullie de hoogte van de zon bepalen.

Uit de hoogte van de zon kun je afleiden op welke lengte- en breedtegraad je je precies bevindt. Discussieer samen met je medeleerlingen en jullie begeleider over de volgende vragen:

  • Wil je de absolute lengte- en breedtegraad weten, of alleen de relatieve -- dat wil zeggen alleen het verschil in lengte- of breedtegraad tussen de twee locaties?
  • Welke van deze grootheden kun je gemakkelijk uit de zonshoogte afleiden?
  • Welke informatie heb je hier nog meer voor nodig, en hoe kun je aan deze informatie komen?
  • Hoe kun je de andere grootheid die je nodig hebt bepalen?
  • Op welke manier kun je de meting het beste doen?

Door de andere groep waarnemers moet natuurlijk hetzelfde worden gedaan.

Tenslotte ga je uit de meetgegevens en de afstand tussen de twee locaties (zoek deze op in een atlas of een afstandentabel) de omtrek van de aarde berekenen. Je resultaten verwerk je door een model van de aarde te maken waarin alle gemeten grootheden duidelijk zijn aangegeven. Je kunt het model presenteren met behulp van een poster of een mondelinge voordracht. Leg daarbij zo duidelijk mogelijk uit hoe jullie de omtrek van de aarde bepaald hebben. Ook geef je achtergrondinformatie over de manier waarop de Grieken de omtrek van de aarde bepaald hebben.

 

Begeleidingsblad

De omtrek van de aarde

Benodigde tijd

20 slu

Benodigdheden

  • Computer met toegang tot het internet
  • Lange stok (1.5 - 2 meter)
  • Meetlint
  • Schietlood of waterpas
  • Rekenmachine

Randvoorwaarden

De meting moet plaatsvinden op een zonnige dag. Omdat er wordt samengewerkt met een buitenlandse groep, moet het weer ook op de andere locatie zonnig zijn. Dit betekent dat er soms diverse pogingen nodig zijn voordat een geslaagde meting wordt gedaan. De tijdsdruk achter het project moet dus niet te groot zijn. De meting moet plaatsvinden op redelijk vlakke en niet te harde grond.

Benodigde voorkennis

Goniometrie; in het bijzonder het gebruik van bolcoördinaten en het berekenen van een hoek door middel van een inproduct. Een korte inleiding is te vinden in de appendix, die eventueel gekopieerd en aan de leerlingen gegeven kan worden.

Informatiebronnen

Het is nodig contact te zoeken met een andere school of groep in het buitenland -- bij voorkeur via het Internet. Er zijn twee sites die speciaal over dit project gaan en waar groepen zich aan kunnen melden.

Inleiding

Al in de derde eeuw voor Christus bepaalde de Griek Eratosthenes de omtrek van de aarde. Hij deed dit door de zonshoogte in Alexandrië te meten, en deze te vergelijken met de zonshoogte in Syene. Van deze laatste plaats was namelijk bekend dat de zon op een bepaalde dag recht in het zenit stond. Omdat hij ook de afstand tussen beide plaatsen kon schatten kon hij uit deze meetgegevens de omtrek van de aarde afleiden.

Het doel van deze proef is om de meting van Eratosthenes na te doen. Wanneer de leerlingen alleen de informatie op het opdrachtblad gebruiken, wordt de opdracht erg moeilijk. De hoeveelheid begeleiding hangt af van de kennis en belangstelling van de leerlingen. Sommige leerlingen zullen het leuk vinden om een aantal zeken zelf uit te zoeken, terwijl leerlingen met alleen kennis van wiskunde uit de basisvorming veel begeleiding nodig zullen hebben.

Een extra aardigheid bij deze proef is dat de leerlingen zelf contact moeten zoeken met leerlingen van een school in het buitenland -- iets wat in het algemeen niet alleen een heel leerzame, maar ook een heel leuke ervaring is!

Uitvoering

Zoeken tweede locatie. Allereerst moet contact worden gezocht met een andere school of waarneemgroep (eventueel meerdere groepen om de meting nauwkeuriger te maken). Sommige scholen hebben al contacten gelegd met scholen in het buitenland via andere projecten, maar leerlingen kunnen ook contact zoeken via bovengenoemde internetadressen. De afstand tot de andere locatie moet groot genoeg zijn om het verschil tussen de invalshoeken van de zon te kunnen meten: een afstand van 500 km (overeenkomend met circa 5 graden hoekverschil) is het minimum.

Meten. Van beide locaties moet nu zowel de breedtegraad als de relatieve lengtegraad bepaald worden. Het idee van de proef is om de breedtegraad te bepalen door op een bepaalde dag de grootste zonshoogte (in graden boven de horizon) te bepalen. De relatieve lengtegraad wordt bepaald door het tijdstip waarop deze grootste zonshoogte plaatsvindt.

Beide bepalingen kunnen binnen één serie metingen gedaan worden. De meting verloopt als volgt:

  • Plaats een stok rechtop in de grond; zorg met behulp van een schietlood dat de stok verticaal staat.
  • Bepaal in een periode van enkele uren voor en na het (geschatte) tijdstip van de hoogste zonnestand met regelmatige intervallen de lengte van de schaduw van de stok. Een geschikt meetinterval is een kwartier.
  • Reken voor elke meting de lengte van de schaduw om in de hoogte van de zon boven de horizon.
  • Zet de meetpunten uit in een grafiek en bepaal door interpolatie de hoogste zonnestand en het tijdstip hiervan.

Een zelfde bepaling dient (op dezelfde dag) door de groep waarnemers op de andere locatie gedaan te worden. Eventueel kan de opdracht vereenvoudigd worden door de tweede locatie op vrijwel dezelfde lengtegraad (afwijking minder dan een graad) te zoeken. De relatieve lengtegraad hoeft dan niet meer berekend te worden, en de berekening van de breedtegraad (die nu alleen relatief bepaald hoeft te worden) wordt veel eenvoudiger.

Figuur 1. De aarde draait om de zon.

Berekening relatieve lengtegraad. De relatieve lengtegraad wordt nu berekend door het verschil in de twee tijdstippen van de hoogste zonnestand. Hierbij moet natuurlijk rekening worden gehouden met de verschillende tijdzones waarin de locaties zich kunnen bevinden!

Bepaling absolute breedtegraad. De absolute breedtegraad van een locatie wordt bepaald door te berekenen op welke breedtegraad de zon op het moment van de meting in het zenit staat (zie figuur 1 en 2). (Eventueel kan deze breedtegraad ook in de Sterrengids opgezocht worden) Hiervoor geldt de volgende formule:

α sin(α) = sin(ϑ0) cos(ϕ)

Hierin is α de breedtegraad waar de zon op tijdstip t in het zenit staat; ϑ 0 is de helling van de aardas (ϑ 0 = 23 graden) en ϕ is de hoek waarover de aarde sinds het begin van de zomer om de zon gedraaid is:

ϕ = 2 π (t - t0)/T

met t - t0 het aantal dagen dat verlopen is sinds het begin van de zomer (op te zoeken in de Sterrengids) en T de duur van een zonnejaar (T = 365,25 dagen).

Figuur 2. schematische tekening van de aarde.

Wanneer we deze hoek van de gemeten zonshoogte ϑg aftrekken vinden we de werkelijke breedtegraad ϑ van onze locatie:

ϑ = ϑg - α

Deze formule is als volgt af te leiden (zie figuur 1):

We beschouwen coördinaten waarin de zon en de aarde op een vaste plaats staan. Dit betekent dat de aardas in een periode van een jaar eenmaal ronddraait. Een eenheidsvector a langs de aardas heeft componenten

xa = sin(ϑ0) cos(ϕ)

ya = sin(ϑ0) sin(ϕ)

za = cos(ϑ0)

Een eenheidsvector n in de richting van de zon heeft componenten

xn = 1

yn = 0

zn = 0

De cosinus van de hoek tussen deze twee vectoren is gelijk aan hun inproduct:

cos(β) = n . a = sin(ϑ0) cos(ϕ)

In figuur 2 zien we dat voor de breedtegraad van locatie L dus geldt

sin(α) = sin(β - π /2) = sin(π /2 - β) = cos(β)

Tenslotte moet de hoek tussen de twee locaties, gemeten ten opzichte van het centrum van de aarde, bepaald worden. Locatie A heeft lengtegraad ϕ1 en breedtegraad ϑ1; locatie B heeft lengtegraad ϕ2 en breedtegraad ϑ2. We kunnen de oorsprong wat betreft de lengtegraad in locatie A leggen, en dus ϕ1=0 kiezen, en voor ϕ2 de relatieve lengtegraad.

De twee eenheidsvectoren vanuit het centrum van de aarde in de richting van beide locaties zijn nu

xA = sin(ϑ1)

yA = 0

zA = cos(ϑ1)

xB = sin(ϑ2) cos(ϕ2)

yB = sin(ϑ2) sin(ϕ2)

zB = cos(ϑ2)

De cosinus van de gezochte hoek is weer het inproduct van deze vectoren:

cos(χ) = sin(ϑ1) sin(ϑ2) cos(ϕ2) + cos(ϑ1) cos(ϑ2)

De afstand S tussen de locaties komt nu overeen met de hoek χ . De hele aardomtrek correspondeert met een hoek van 2π . Hieruit volgt voor de aardomtrek

O = 2 π S / χ

en voor de aardstraal R = O/2π

R = S / χ

Eindproduct

De leerlingen moeten een 3D-model maken van de aarde, waarop de gebruikte en gemeten grootheden duidelijk staan aangegeven. Als aanvulling hierop kan een kleine poster gemaakt worden die bij het model komt te hangen en waarop de metingen toegelicht worden. Ook de gebruikte formules moeten op deze poster vermeld worden. Een andere mogelijkheid is om het model door middel van een mondelinge voordracht te laten demonstreren. In beide gevallen moet de gebruikte wiskunde op een begrijpelijke wijze aan de lezers of toehoorders worden uitgelegd. Bovendien wordt de meting in een historische verband geplaatst doordat zij achtergrondinformatie gegeven over de manier waarop de Grieken de omtrek van de aarde bepaald hebben.

 

Appendix

Bolcoördinaten

Het verdient aanbeveling om bij de opdracht gebruik te maken van bolcoördinaten; zie figuur 3. In plaats van de gebruikelijke (rechthoekige) coördinaten (x, y, z) maken we gebruik van de coördinaten (r, θ, ϕ), die als volgt gedefinieerd zijn:

  • r is de afstand van het punt (x, y, z) tot de oorsprong
  • θ is de hoek die de vector (x, y, z) met de positieve z-as maakt
  • ϕ is de hoek waarover (x, y, z) gedraaid is ten opzichte van een vector met dezelfde r en θ die recht boven de positieve x-as zou liggen

Figuur 3. Bolcoördinaten.

Uit de figuur is eenvoudig af te leiden dat bolcoördinaten als volgt in rechthoekige coördinaten zijn om te rekenen:

x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ

Het inproduct

De hoek tussen twee driedimensionale vectoren v1 = (x1, y1, z1) en v2 = (x2, y2, z2) is te berekenen met behulp van het inproduct. Dit inproduct is als volgt gedefinieerd:

v1 . v2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

Het is mogelijk om te laten zien dat het inproduct ook gegeven wordt door

v1 . v2 = |v1| |v2| cos α

waarin |v1| en |v2| de lengtes van de vectoren zijn, en α de hoek tussen de twee vectoren. In het bijzonder is het inproduct van twee eenheidsvectoren dus gelijk aan de cosinus van de hoek tussen de vectoren.

Let op: het bovenstaande geldt alleen in rechthoekige coördinaten.

© 1999 Stichting Universum, Utrecht. Alle rechten voorbehouden. Copiëren voor eigen gebruik, privé of op school, is toegestaan. Overname van deze tekst in andere uitgaven mag alleen met schriftelijke toestemming van de uitgever.

Terug naar startpagina.