Praktische opdracht

Hoe zwaar is Jupiter?

Net als de aarde hebben de meeste planeten van ons zonnestelsel één of meer manen. Sommige planeten, zoals Saturnus, hebben er zelfs meer dan twintig. Deze manen zijn onderhevig aan dezelfde wet van de zwaartekracht als de planeten bij hun beweging om de zon. Uit de beweging van de planeten om de zon kun je de massa van de zon bepalen. Maar hoeveel wegen de planeten zelf? In deze opdracht ga je met een (kleine) telescoop de manen van Jupiter waarnemen. En vervolgens bepaal je aan de hand van een bestaande reeks waarnemingen afstand en omlooptijd van een van de Jupitermanen. Met behulp van de verzamelde gegevens ga je de massa van deze planeet berekenen.

De opdracht kun je in je eentje of met z'n tweeën uitvoeren. Het is in het laatste geval handig om een taakverdeling te maken voordat je aan de slag gaat. De opdracht bestaat uit verschillende onderdelen.Eerst verzamel je informatie over Jupiter en zijn manen. Wat is Jupiter eigenlijk? Hoe ver is hij van ons en van de zon verwijderd? Hoeveel manen heeft hij? En wanneer en door wie zijn de grootste manen ontdekt?

Vervolgens ga je Jupiter waarnemen met behulp van een (kleine) telescoop. (Let op: Jupiter is niet het hele jaar door waarneembaar. Bepaal met behulp van een planetariumprogramma op de pc of van een jaargids zoals Sterren en Planeten óf en wanneer de planeet momenteel te zien is.) Misschien is er op school een telescoo aanwezig of heb je er zelf een. Als er geen telescoop voorhanden is, kun je contact opnemen met een sterrenwacht in de buurt. Vraag aan je docent een lijst met sterrenwachten. Maak een afspraak met een medewerker van een publiekssterrenwacht bij jou in de buurt. Met behulp van de telescoop moet een tekening worden gemaakt van Jupiter en de posities van de zichtbare manen op dat moment.

Vervolgens ga je aan de hand van een bestaande reeks momentopnamen de massa van Jupiter bepalen. Maar beantwoord voor jezelf eerst de volgende vragen:

  • Welke gegevens zijn nodig om de massa van Jupiter te bepalen?
  • Waar kun je die gegevens vinden?
  • De afbeeldingen bij deze opdracht zijn op schaal: elk plaatje is 0,31 graad breed; Jupiter had een afstand van 855 miljoen kilometer. Hoe groot is 1 mm op de afbeeldingen in werkelijkheid?
  • Bedenk welke van de vier zichtbare manen het beste kan worden gebruikt om de massa van Jupiter te bepalen. Of maakt dat niet uit?
Vraag je begeleider om hulp bij het afleiden van de formule voor het bepalen van de massa van Jupiter.

Einddoel van deze opdracht is een verslag van 4 of 5 pagina's A4, waarin aan de hand van de verzamelde informatie, waarnemingen en de berekeningen een overzicht wordt gegeven van de bewegingen van de manen van Jupiter. Druk de gevonden massa van Jupiter niet alleen uit in kilogrammen, maar ook in aardmassa's. Verzin eventueel een originele manier om het manenstelsel van Jupiter in beeld te brengen, bijvoorbeeld door met piepschuimen bollen een schaalmodel te maken. (Kun je een model maken waarbij de afmetingen van Jupiter en zijn vier grote manen en hun onderlinge afstanden op dezelfde schaal zijn?)
 

Begeleidingsblad

Hoe zwaar is Jupiter?

Benodigde tijd

10 slu

Benodigdheden

  • Rekenmachine 
  • Computer met planetariumprogramma en/of sterrenkundig jaarboek
  • Zaklampje bij voorkeur met roodfilter 
  • Telescoop 
  • Tekenpapier 
  • Potlood 
  • Opdrachtafbeeldingen 
  • Evt. piepschuimen bolletjes voor schaalmodel 
Randvoorwaarden

Het is de bedoeling om op een heldere avond door een telescoop naar Jupiter te kijken en (aan)tekeningen te maken. Het laatste gedeelte van de opdracht wordt uitgevoerd aan de hand van bestaand beeldmateriaal.

Benodigde voorkennis

De massabepaling geschiedt aan de hand van de zwaartekrachtswet van Newton. Er moet een formule worden afgeleid die het verband tussen de massa van een planeet en de straal en omlooptijd van een van zijn manen uitdrukt.

Informatiebronnen

  • Sterren en Planeten; Stichting UniVersum, Utrecht, 2000; http://www.planeten.nl.
  • Sterrengids, Mat Drummen; Stichting ‘De Koepel’, Utrecht, 2000; http://www.dekoepel.nl.
  • Werelden naast de aarde, Govert Schilling, Wereldbibliotheek, Amsterdam 1990, ISBN 90-284-1574-2.
  • De planeten, Teleac, Hilversum 2000, ISBN 90-5333-550-1.
Inleiding

Het zonnestelsel is een overzichtelijk geheel. In het midden staat de zon en daaromheen draaien negen planeten, waaronder de aarde. Om de meeste planeten draaien één of meer manen. Dankzij de wetten van de zwaartekracht kunnen we de beweging van een planeet om de zon of van een maan om een planeet gebruiken om de massa van de zon c.q. de moederplaneet te bepalen. Deze opdracht is bedoeld om de wet van Newton eens in de praktijk toe te passen. De leerling doet eerst wat indrukken op van Jupiter en zijn vier grote manen door met een telescoop naar de planeet te kijken. Ook wordt er informatie over het Jupiterstelsel verzameld. Ter afsluiting wordt de massa van Jupiter berekend en uitgedrukt in zowel kilo's als aardmassa's.

Uitvoering

Voordat de leerling naar Jupiter gaat kijken, moet er eerst wat achtergrondinformatie worden verzameld. Wat is Jupiter eigenlijk? Hoe ver is hij van ons en van de zon verwijderd? Hoeveel manen heeft Jupiter en welke kun je al met behulp van een kleine telescoop zien? Welke gegevens zijn nodig om de massa van de planeet te bepalen? Dit soort informatie kan worden opgezocht in de vermelde boektitels of op het Internet.

De volgende stap is de eerste kennismaking met Jupiter. Hiervoor moet worden opgezocht wanneer Jupiter zichtbaar is aan de sterrenhemel. Dit kan bijvoorbeeld met behulp van de jaargids Sterren en Planeten, maar ook met behulp van een planetariumprogramma op de pc. Laat de leerling(en) opzoeken wanneer Jupiter te zien is. Indien de school (of de leerling) over een telescoop beschikt, kunnen vervolgens plannen worden gemaakt om de planeet eens met eigen ogen te bekijken. Een andere mogelijkheid is het maken van een afspraak met een publiekssterrenwacht in de omgeving. 

Zelfs met een kleine telescoop is al heel veel te zien aan Jupiter en zijn vier grootste manen. De planeet zelf is een duidelijk 'balletje' in het beeldveld, waarop vaak enkele donkere banden te zien zijn. De leerling moet zich ervan bewust zijn dat het hier niet het oppervlak van de planeet betreft, maar een steeds veranderend wolkendek. Omdat Jupiter een korte rotatietijd heeft (in ongeveer tien uur draait de planeet om zijn as), kun je al na een half uur veranderingen in het beeld van de planeet constateren.

Hoofddoel van de waarneemopdracht is het bekijken van de vier grote manen van Jupiter, die als kleine lichtstipjes naast de planeet staan. Soms ontbreken er een paar manen: deze bevinden zich dan vanaf de aarde gezien vóór of áchter de planeet. Indien mogelijk moet de planeet meerdere malen, liefst op achtereenvolgende dagen, worden bekeken. Dan is namelijk pas goed te zien hoe de manen zich ten opzichte van de planeet verplaatsen. Voor het voltooien van de opdracht is dat overigens niet nodig.

Nevenstaande figuur toont de posities van de vier grote manen van Jupiter op acht tijdstippen in een periode van drie weken. De figuur  laat zien hoe de manen van Jupiter zich ten opzichte van de planeet verplaatsen. Het is in feite een voorgekookte reeks waarnemingen, verspreid over een periode van drie weken. (Deze figuur is te klein om op te meten. Daarom geven we ook een  grote kleurfiguur en een grote zwart/wit figuur. Bewaar deze grote figuren eerst op de harde schijf van je computer en print ze vanuit een tekenprogramma of fotobewerkingsprogramma. Maar meten aan eigen waarnemingen is natuurlijk mooier als dat mogelijk is.) Aan de hand van de tekeningen moet worden bepaald welke maan welke is, en hoe lang deze erover doet om éénmaal om Jupiter te draaien. Deze omlooptijd is nodig om de massa van Jupiter berekenen. Het andere benodigde gegeven is de onderlinge afstand tussen de middelpunten van de manen en Jupiter: ook dit kan met behulp van deze afbeeldingen en de (gegeven) afstand van de planeet worden gemeten en berekend.

[N.B.: Bij de feitelijke metingen kan alleen de buitenste maan worden gebruikt: voor de overige is het aantal meetpunten te gering. De gezochte maan (Callisto) heeft een omlooptijd van bijna 17 dagen en bereikt op 'dag 1' en ‘18’ juist het verste punt van zijn baan.]

Daarbij moeten de volgende formules worden afgeleid c.q. gebruikt:

A. Schaal van de afbeeldingen

De afzonderlijke plaatjes in figuur 1 zijn 0,31 graad breed. Met behulp van de afstand van Jupiter (855 miljoen kilometer) en de tangensformule moet de schaal van de afbeelding worden bepaald. 

breedte plaatjes in mm = afstand Jupiter * tan (0,31°) = 855 miljoen * 0,00541 = 4,63 miljoen km

1 mm komt dus overeen met ....... km (afhankelijk van de print).

B. De (gemiddelde) afstand van Callisto tot Jupiter.

Dit gegeven volgt uit de metingen. De meest nauwkeurige methode bestaat uit het opnemen van de tien meetpunten in een grafiek waarbij langs de x-as de dag en langs de y-as de afstand (in mm) staat uitgezet.

C. De omlooptijd van Callisto.

Ook dit volgt uit de metingen. Als de hiervoor genoemde grafische methode wordt gebruikt, is de omlooptijd gelijk aan de afstand tussen twee maxima (of minima) van de sinusvormige kromme die in de grafiek verschijnt. 

D. De berekening van de massa van Jupiter.

Hierbij gaan we uit van de zwaartekrachtswet van Newton:

Fg = GMm/r2 ,          (1a)

waarbij G = de zwaartekrachtsconstante = 6,67.10-11 Nm2/kg2, M = de massa van het aantrekkende voorwerp, m = de massa van het vallende voorwerp en r = hun onderlinge afstand.

Gaan we ervan uit dat de manen van Jupiter in een cirkelvormige baan bewegen, dan is Fg gelijk aan de centripetale kracht:

Fc = mv2/r,               (1b)

waarbij v de baansnelheid van de betreffende maan is.

Stellen we (1a) en (1b) aan elkaar gelijk, dan vinden we na wat omzettingen:

M = v2r/G               (1)

Aangezien v = 2πr/T (omtrek gedeeld door omlooptijd in seconden), kunnen we ook schrijven:

M = 4π2r3/GT2      (2)

In formule 2 kunnen de meetgegevens worden ingevuld, waarbij er wel op moet worden gelet dat de afstand r in meters wordt uitgedrukt en de omlooptijd T in seconden. De gevonden massa moet zowel in kilogrammen als in aardmassa's worden gegeven -- de uitkomst mag niet meer dan 20 procent van de wetenschappelijke waarde afwijken.

Eindproduct

Het eindproduct moet bestaan uit een uitgebreid verslag. In dit verslag worden de verzamelde informatie, waarnemingen en de berekeningen gebruikt om een overzichtelijk beeld te geven van Jupiter en zijn manenstelsel. Indien de tijd dat toelaat, kunnen de leerlingen als extra opdracht met piepschuimen balletjes een schaalmodel van het Jupiter-stelsel maken, waarbij ze gebruik maken van de door henzelf uitgevoerde berekeningen.

© 2001 Stichting Universum, Utrecht. Alle rechten voorbehouden. Copiëren voor eigen gebruik, privé of op school, is toegestaan. Overname van deze tekst in andere uitgaven mag alleen met schriftelijke toestemming van de uitgever.

Terug naar startpagina.